Leetcode 365:水壶问题(超详细的解法!!!)
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Leetcode 365:水壶问题(超详细的解法!!!)

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有两个容量分别为x升 和y升 的水壶以及无限多的水。请判断能否通过使用这两个水壶,从而可以得到恰好z升的水?

如果可以,最后请用以上水壶中的一或两个来盛放取得的z升水。

你允许:

示例 1: (From the famous "Die Hard" example)

输入: x = 3, y = 5, z = 4
输出: True

示例 2:

输入: x = 2, y = 6, z = 5
输出: False

解题思路

这个问题首先不叫容易想到暴力解,也就是dfs。如果定义函数$f(a,b,c)$表示三个壶中包含abc升水对应的结果。那么,可以分成三个类别考虑

最后边界条件,就是当a=zb=za+b=z的时候可以解。

from functools import lru_cache
class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if x + y < z: return False

        @lru_cache(None)
        def dfs(a, b):
            if a == z or b == z or a + b == z: return True
            res = False
            res |= dfs(x, b) | dfs(a, y) | dfs(0, b) | dfs(a, 0)
            if a + b < y: res |= dfs(0, a + b)
            else: res |= dfs(a + b - y, y)
            if a + b < x: res |= dfs(a + b, 0)
            else: res |= dfs(x, a + b - x)
            return res
        return dfs(0, 0)

dfs迭代过深了,尝试bfs来写。

class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if x + y < z: return False
        
        q = [(0, 0)]
        vis = set([(0, 0)])
        while q:
            a, b = q.pop(0)
            if a == z or b == z or a + b == z: return True
            
            states = [(x, b), (a, y), (0, b), (a, 0)]
            if a + b < y: states.append((0, a + b))
            else: states.append((a + b - y, y))
            if a + b < x: states.append((a + b, 0))
            else: states.append((x, a + b - x))
                
            for state in states:
                if state in vis: continue
                vis.add(state)
                q.append(state)
        return False

这个问题更好的解法是通过数学,假设axby能得到z

想要上述方程成立的话,需要满足z%gcd(x,y)==0,这就是贝祖定理

同样需要处理边界问题,当x+y<z的时候直接返回False。如果x=0或者y=0,此时需要判断z是否为0或者x+y是否等于z

class Solution:
    def canMeasureWater(self, x: int, y: int, z: int) -> bool:
        if x + y < z:
            return False
        if x == 0 or y == 0:
            return z == 0 or x + y == z
        return z % math.gcd(x, y) == 0

需要注意贝祖定理得到的解是整数解,也就是说ab存在负数的情况,如何理解?可以理解为对应的水壶倒空多少次。

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题,希望大家指出!!!

「如果我的文章对你有很大帮助,那么不妨~!」

coordinate

谢谢老板O(∩_∩)O~

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