Leetcode 1301:最大得分的路径数目(超详细的解法!!!)
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Leetcode 1301:最大得分的路径数目(超详细的解法!!!)

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给你一个正方形字符数组 board ,你从数组最右下方的字符 'S' 出发。

你的目标是到达数组最左上角的字符 'E' ,数组剩余的部分为数字字符 1, 2, ..., 9 或者障碍 'X'。在每一步移动中,你可以向上、向左或者左上方移动,可以移动的前提是到达的格子没有障碍。

一条路径的 「得分」 定义为:路径上所有数字的和。

请你返回一个列表,包含两个整数:第一个整数是 「得分」 的最大值,第二个整数是得到最大得分的方案数,请把结果对 10^9 + 7 取余

如果没有任何路径可以到达终点,请返回 [0, 0]

示例 1:

输入:board = ["E23","2X2","12S"]
输出:[7,1]

示例 2:

输入:board = ["E12","1X1","21S"]
输出:[4,2]

示例 3:

输入:board = ["E11","XXX","11S"]
输出:[0,0]

提示:

解题思路

这个问题和之前问题

Leetcode 62:不同路径(最详细的解法!!!)

Leetcode 64:最小路径和(最详细的解法!!!)

Leetcode 1102:得分最高的路径(超详细的解法!!!)

所以可以想到通过dfs加记忆化的方式来做,定义函数$f(x,y)$的返回结果是从x,y出发到达0,0点的最大得分maxv和相应的路径数目cnt。那么对于maxv来说:

对于cnt来说,我们需要判断x,y节点的值curv和右边、下边和右下哪些值恰好是maxv(x,y),那么:

注意,需要判断cnt(x-1,y)cnt(x,y-1)cnt(x-1,y-1)哪些是满足curv+cnt(...)==maxv(x,y)的。

最后考虑边界条件,当x==0 && y==0,返回[0,1];如果xy不在边界或者x,y的点是'X'的话,返回[-10**5, 0]

from functools import lru_cache
class Solution:
    def pathsWithMaxScore(self, b: List[str]) -> List[int]:
        r, c, mod = len(b), len(b[0]), 10**9 + 7
        
        @lru_cache(None)
        def dfs(x, y):
            if x < 0 or x >= r or y < 0 or y >= c or b[x][y] == 'X':
                return [-10**5, 0]
            
            if x == 0 and y == 0:
                return [0, 1]
            
            res = []
            for i, j in [[-1, 0], [0, -1], [-1, -1]]:
                res.append(dfs(i + x, j + y))
                
            curv = (int(b[x][y]) if b[x][y] != 'S' else 0)
            maxv, cnt = curv + max([v[0] for v in res]), 0
            for v in res:
                if v[0] + curv == maxv:
                    cnt += v[1]
            return [maxv, cnt % mod]
        
        t = dfs(r - 1, c - 1)
        return t if t[1] != 0 else [0, 0]

当然也可以采用动态规划的写法,思路是一样的。

class Solution:
    def pathsWithMaxScore(self, A):
        n, mod = len(A), 10**9 + 7
        dp = [[[-10**5, 0] for _ in range(n + 1)] for _ in range(n + 1)]
        dp[n - 1][n - 1] = [0, 1]
        
        for x in range(n-1, -1, -1):
            for y in range(n-1, -1, -1):
                if A[x][y] in 'XS': 
                    continue
                    
                for i, j in [[0, 1], [1, 0], [1, 1]]:
                    if dp[x][y][0] < dp[x + i][y + j][0]:
                        dp[x][y] = [dp[x + i][y + j][0], 0]
                    if dp[x][y][0] == dp[x + i][y + j][0]:
                        dp[x][y][1] += dp[x + i][y + j][1]
                dp[x][y][0] += int(A[x][y]) if x or y else 0
                
        return [dp[0][0][0] if dp[0][0][1] else 0, dp[0][0][1] % mod]

我将该问题的其他语言版本添加到了我的GitHub Leetcode

如有问题,希望大家指出!!!

「如果我的文章对你有很大帮助,那么不妨~!」

coordinate

谢谢老板O(∩_∩)O~

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